级数收敛的判别方法(知识汇总)

 六神无主     

级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。级数收敛的判别方法有比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法等。下面贤集网小编对级数收敛的判别方法的相关知识进行汇总,希望能对大家有所帮助。

级数收敛的判别方法(知识汇总)

级数收敛的判别方法有哪些?


首先要说明的是:没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法。下面是一些常用的判别法:


一、对于所有级数都适用的根本方法是:柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列,从而这是一个最强的判别法,柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。局限性:有一些数列的特征太过明显,可以用更加简洁的判别法去判别,用柯西收敛原理是浪费时间;另一方面,如果级数本身过于复杂,用柯西收敛准则也未必能很快得到证明。


二、对于正项级数,一个基本但不常用的方法是部分和有界,这同样是级数收敛的充分必要条件,这是正项级数中最强的判别法之一,局限性也是显然的:通常来说一个级数的和函数并不好求,用这种方法行不通,因此这个方法通常只有理论上的意义。


三、对于正项级数,比较判别法是一个相当有效的判别法,通过找一个新正项级数,比较通项,如果原级数的通项小,新级数收敛,则原级数收敛;如果新级数发散,原级数通项大,则原级数发散,通常在判别过程中使用其极限形式。局限性:当级数过于复杂时,要找的那个新级数究竟是什么很难判断,通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开,以找到与之等价的p级数。


四、对于正项级数,有柯西判别法和达朗贝尔法。这些楼上都已说到,它的实质是找等比级数与之比较。另外柯西判别法比达朗贝尔判别法强,这是因为比值的下极限小于等于开n次根号的下极限,比值的上极限大于等于开n次根号的上极限(即二楼说的这两个判别法等同是不对的)。局限性:如果原级数的阶低于任何一个等比级数,这方法就完全失效了。


五、对于正项级数,有积分判别法:如果x>=1且f(x)〉=0且递减,则无穷级数(通项为f(n))与1到正无穷对f(x)作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性:由于其本质是将级数化成了反常积分,如果化成的反常积分的收敛性难以判断,则有可能该方法就把问题复杂化了。


六、对于正项级数,还有拉贝判别法与高斯判别法。拉贝判别法是将级数与通项为1/(n^alpha)的级数做比较,如果当n充分大时,n(a[n]/a[n+1]-1)〉=r>1,那么级数收敛。高斯判别法将级数与通项为1/(n(lnn)^alpha)的级数做比较,如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o(1/nlnn),其中beta〉1,则级数收敛。局限性:这两个判别法已经很强了,大部分级数都可以用这两个判别法去估计,但是仍然不是全部级数都有效的,如果级数比通项为1/(n(lnn)^alpha)的级数收敛得还慢,就无效了,这时应该去想比较判别法或者其他办法,可能需要比较强的技巧。


七、对于交错级数,有莱布尼兹判别法:如果级数符号交替且通项绝对值递减,则级数收敛。局限性:如果级数不满足上述条件,显然就失效了。


八、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法:


阿贝尔判别法:如果级数的通项可以拆成两部分的乘积,其中一部分随下标单调有界,以另一部分为通项的级数收敛,那么原级数收敛。


狄利克雷判别法:如果级数的通项可以拆成两部分的乘积,其中一部分随下标单调趋于零,以另一部分为通项的级数的部分和有界,那么原级数收敛。


这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效。局限性:如果拆不出来,那就没办法了。不过通常的题最多就考到这里,基本上应该可以判别。


九、绝对收敛性。如果一个级数,以其通项的绝对值为通项的级数收敛,则原级数收敛。局限性是显然的:如果以其通项的绝对值为通项的级数不收敛就无效了。通常的题目上很少会蠢到让你去求绝对值,然后判断正项级数的收敛性,从而这个办法一般只有理论上的意义,除非题中明说让你去判断条件收敛性和绝对收敛性。


想问有没有简便的方法判别级数是收敛还是发散?


判断级数是否收敛是一个非常复杂的问题,到目前为止都没有一个统一的判别法。因为对任何一个收敛级数都存在一个比其收敛得慢的级数存在,任何一个发散的级数都存在一个比其发散得慢的级数存在。因此判断一个级数是否收敛是一条漫长的路程。常用的方法是选择一个好的靶子级数发展一个判别法,靶子级数选得好,判别法判别的级数类型就多,但同时判别法也变得复杂。当然对一些简单的级数的敛散性判别,只要掌握一些基本的判别法,熟能生巧就可以应付常见的问题。


级数收敛判别的方法:


首先,从数项级数的定义入手,了解和掌握数项级数收敛的定义,挖掘出部分和数列收敛判别法、余和判别法;


其次,掌握数项级数收敛的性质,推导出夹逼定理和奇、偶子级数收敛判别法、Cauchy收敛准则;


再次,讨论特殊的级数――正项级数的收敛方法:有界性判别法,比较判别法,Cauchy积分判别法,比率判别法,Cauchy根值判别法;


最后,研究一般项级数的收敛方法:交错级数的Leibniz判别法,Dirichlet判别法。


能够根据部分和来判别数列是否收敛;比值法和根值法是必须要掌握的;比较法的运用相对较灵活;积分法也十分不错;数项级数的莱布尼茨方法也是一定要掌握的;泰勒展开法在0点时基本都能够起作用;Dirichlet判别法考的较少,但是也要知道这个方法。

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